代码： 全选
可以。先更正一下：我前一個回答中的數值是對的，但我當時把第二條豎線的底端關係寫錯了，所以沒有得到正確的精確代數系統。下面給出**圖中這一構型真正的精確代數解**。
我把外框正方形取為
[
0\le x\le1,\qquad0\le y\le1,
]
左上角為 ((0,0))，右下角為 ((1,1))。原圖總面積為
[
72,
]
所以所有面積除以 (72)。
---
## 1. 設四條切割線
令兩條近似豎直的線為
[
V_1:(a,0)\longrightarrow(b,1),
]
[
V_2:(c,0)\longrightarrow(d,1),
]
兩條近似水平的線為
[
H_1:(0,e)\longrightarrow(1,f),
]
[
H_2:(0,g)\longrightarrow(1,h).
]
由三個豎直區域的總面積都是 (24)，有
[
a+b=\frac23,
\qquad
c+d=\frac43.
]
同理，由三個水平區域的總面積都是 (24)，
[
e+f=\frac23,
\qquad
g+h=\frac43.
]
因此
[
\boxed{
b=\frac23-a,\quad
d=\frac43-c,\quad
f=\frac23-e,\quad
h=\frac43-g.
}
]
---
# 2. 精確代數方程
對圖中的構型，左上角的 7 對應
[
\operatorname{Area}(V_1,H_1)=\frac7{72},
]
而前兩個上方區域 (7+6=13)，所以
[
\operatorname{Area}(V_2,H_1)=\frac{13}{72}.
]
同理底部左側分別是
[
5,\qquad 5+10=15.
]
消去各切割線交點後，四個未知數 (a,c,e,g) 精確滿足：
[
\boxed{
648a^2e-216a^2+648ae^2-900ae
+84a-216e^2+84e+35=0
}
\tag{1}
]
[
\boxed{
648c^2e-216c^2+648ce^2-1116ce
+156c-432e^2+312e+13=0
}
\tag{2}
]
[
\boxed{
-648a^2g+432a^2-648ag^2+1332ag
-456a+216g^2-228g-19=0
}
\tag{3}
]
[
\boxed{
-216c^2g+144c^2-216cg^2+612cg
-264c+144g^2-264g+77=0.
}
\tag{4}
]
这四个方程就是这个拼图构型的**精确代数定义**。
---
# 3. 可以进一步只用一个代数数表示
消去 (c,e,g)，令
[
\boxed{a=x}
]
那么 (x) 是下面这个 **18 次不可约多项式**在相应区间内的唯一实根：
[
\begin{aligned}
0={}&
23458541410695744847872x^{18}\
&-151680615000079555952640x^{17}\
&+514894235417012052430848x^{16}\
&-1185167317884777067272192x^{15}\
&+2019051897831648364575744x^{14}\
&-2656513549187165133480960x^{13}\
&+2760279491008227403946880x^{12}\
&-2286084832185100116866688x^{11}\
&+1508148612664876129215168x^{10}\
&-783847314723591355095936x^9\
&+312892663019965630232040x^8\
&-91126675092323238734448x^7\
&+17149048686859284439596x^6\
&-1181351791763247221172x^5\
&-342013587277622247072x^4\
&+114664463272833339393a^3\
&-15409434887543153043x^2\
&+1019600262780122115x\
&-27031391285221153.
\end{aligned}
]
上面第三次幂那一项应统一写成 (x^3)，所以准确形式为
[
\boxed{
\begin{aligned}
P(x)={}&
23458541410695744847872x^{18}
-151680615000079555952640x^{17}\
&+514894235417012052430848x^{16}
-1185167317884777067272192x^{15}\
&+2019051897831648364575744x^{14}
-2656513549187165133480960x^{13}\
&+2760279491008227403946880x^{12}
-2286084832185100116866688x^{11}\
&+1508148612664876129215168x^{10}
-783847314723591355095936x^9\
&+312892663019965630232040x^8
-91126675092323238734448x^7\
&+17149048686859284439596x^6
-1181351791763247221172x^5\
&-342013587277622247072x^4
+114664463272833339393x^3\
&-15409434887543153043x^2
+1019600262780122115x\
&-27031391285221153.
\end{aligned}}
]
图中构型对应的是
[
\boxed{
0.3795<x<0.3796
}
]
中的那个根，即
[
\boxed{
a=
0.37950914339941601998122327007298852139\ldots
}
]
---
# 4. 其余三个代数数
与这个 (a) 相对应的唯一解为
[
\boxed{
e=
0.22720477859830553644375379175796891470\ldots
}
]
[
\boxed{
c=
0.58878288506541244926223624303288997994\ldots
}
]
[
\boxed{
g=
0.81210251003700162434855242229583252441\ldots
}
]
所以四个基本参数的精确代数定义实际上可以写成：
[
\boxed{
(a,e,c,g)
}
]
是方程组 (1)–(4) 在如下有理区间中的唯一解：
[
\begin{aligned}
&\frac{3795}{10000}<a<\frac{3796}{10000},\
&\frac{2272}{10000}<e<\frac{2273}{10000},\
&\frac{5887}{10000}<c<\frac{5888}{10000},\
&\frac{8121}{10000}<g<\frac{8122}{10000}.
\end{aligned}
]
这种写法是**严格的精确代数数表示**，不是数值近似。
---
# 5. 四条切割线的精确坐标
因此图中四条线的端点为：
### 第一条豎線
[
\boxed{
V_1:
\left(a,0\right)
\longrightarrow
\left(\frac23-a,1\right)
}
]
其中
[
a=0.3795091433994160199812232700\ldots
]
所以
[
\boxed{
V_1:
(0.379509143399416\ldots,0)
\rightarrow
(0.287157523267251\ldots,1)
}
]
---
### 第二条豎線
[
\boxed{
V_2:
\left(c,0\right)
\longrightarrow
\left(\frac43-c,1\right)
}
]
即
[
\boxed{
V_2:
(0.588782885065412\ldots,0)
\rightarrow
(0.744550448267921\ldots,1)
}
]
---
### 第一条斜線
[
\boxed{
H_1:
\left(0,e\right)
\longrightarrow
\left(1,\frac23-e\right)
}
]
即
[
\boxed{
H_1:
(0,0.227204778598306\ldots)
\rightarrow
(1,0.439461888068361\ldots)
}
]
---
### 第二条斜線
[
\boxed{
H_2:
\left(0,g\right)
\longrightarrow
\left(1,\frac43-g\right)
}
]
即
[
\boxed{
H_2:
(0,0.812102510037002\ldots)
\rightarrow
(1,0.521230823296332\ldots)
}
]
---
## 6. 为什么没有漂亮的「分式＋平方根」？
这里其实有一个很有意思的结果：
这个构型**不是一个简单的二次根式问题**。
(a) 的最小多项式次数是 **18**。因此它不可能写成仅由有理数和有限次平方根构成的形式，例如
[
\frac{p+q\sqrt r}{s},
]
或者几个黄金比、(\sqrt2,\sqrt3,\sqrt5) 之类简单根式的组合。
也就是说，这个图虽然看起来非常简单：
[
7,6,11,\quad12,8,4,\quad5,10,9,
]
但四条直线同时满足这些面积条件以后，产生的实际上是一个**18 次代数数**。
所以，如果你所说的「保留根号和分式」是指类似
[
\frac{3+\sqrt5}{7}
]
这样的漂亮闭式，那么**这个构型不存在这种形式**；最自然、严格的精确答案就是「某个不可约多项式的指定实根」。
如果你愿意，我还可以继续把这四个 **18 次代数数用一个统一的代数基底表示**，或者直接把它们换算成你之前使用的 **(384\times384) 坐标系**，给出可直接放进 SVG 的精确坐标。
