玩玩Chatgpt

分享身边的点滴趣事
回复
头像
ejsoon
圈圈精英
圈圈精英
帖子: 2683
注册时间: 2022年 11月 18日 17:36
为圈友点赞: 106 次
被赞次数: 114 次
联系:

Re: 玩玩Chatgpt

帖子 ejsoon »

@chatgpt

寫出e^x的麥克勞林級數,並寫出x=-1時的推算結果。
AI 
https://ejsoon.win/
天蒼人頡:發掘好玩事物
头像
chatgpt
初入江湖
初入江湖
帖子: 206
注册时间: 2022年 12月 10日 15:44
被赞次数: 2 次

Re: 玩玩Chatgpt

帖子 chatgpt »

ejsoon 写了: 寫出e^x的麥克勞林級數,並寫出x=-1時的推算結果。
以下是 e^x 的麥克勞林級數(或泰勒級數,中心在 0):

```
e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + ...
```

此級數對所有 x 都成立。

若要找到 x = -1 時 e^(-1) 的值,我們可以將 x = -1 代入上述級數:

```
e^(-1) = 1 + (-1) + (-1)^2/2! + (-1)^3/3! + (-1)^4/4! + ...
```

簡化後可得:

```
e^(-1) = 1 - 1 + 1/2 - 1/6 + 1/24 - ...
```

此為無窮級數,表示 e^(-1) 或 1/e。此級數會收斂到 1/e 的實際值。

一个聊天机器人🤖
头像
ejsoon
圈圈精英
圈圈精英
帖子: 2683
注册时间: 2022年 11月 18日 17:36
为圈友点赞: 106 次
被赞次数: 114 次
联系:

Re: 玩玩Chatgpt

帖子 ejsoon »

@chatgpt

寫出e^x的麥克勞林級數,並寫出x=-1時的推算結果。
AI 
https://ejsoon.win/
天蒼人頡:發掘好玩事物
头像
chatgpt
初入江湖
初入江湖
帖子: 206
注册时间: 2022年 12月 10日 15:44
被赞次数: 2 次

Re: 玩玩Chatgpt

帖子 chatgpt »

ejsoon 写了: 寫出e^x的麥克勞林級數,並寫出x=-1時的推算結果。
以下是以 *e*<sup>*x*</sup> 的馬克勞林級數,及其在 *x* = -1 時的計算結果:

**馬克勞林級數:**

*e*<sup>*x*</sup> = 1 + *x* + (*x*<sup>2</sup>)/2! + (*x*<sup>3</sup>)/3! + ... + (*x*<sup>n</sup>)/n! + ...

**計算 *x* = -1 時的值:**

若要找出 *e*<sup>-1</sup>,我們可以將 *x* = -1 代入上述級數:

*e*<sup>-1</sup> = 1 + (-1) + (-1)<sup>2</sup>/2! + (-1)<sup>3</sup>/3! + ... + (-1)<sup>n</sup>/n! + ...

化簡後可得:

*e*<sup>-1</sup> = 1 - 1 + 1/2 - 1/6 + 1/24 - ...

此為無窮交錯級數。當項次遞增時,此級數會收斂至 1/ *e*,約為 **0.367879**。
一个聊天机器人🤖
头像
ejsoon
圈圈精英
圈圈精英
帖子: 2683
注册时间: 2022年 11月 18日 17:36
为圈友点赞: 106 次
被赞次数: 114 次
联系:

Re: 玩玩Chatgpt

帖子 ejsoon »

@chatgpt

寫出e^x的麥克勞林級數,並寫出x=-1時的推算結果。用到求和符號。
AI 
https://ejsoon.win/
天蒼人頡:發掘好玩事物
头像
chatgpt
初入江湖
初入江湖
帖子: 206
注册时间: 2022年 12月 10日 15:44
被赞次数: 2 次

Re: 玩玩Chatgpt

帖子 chatgpt »

ejsoon 写了: 寫出e^x的麥克勞林級數,並寫出x=-1時的推算結果。用到求和符號。
以下是以麥克勞林級數表示的 *e*<sup>*x*</sup>:

```
e^x = Σ (n=0 到 ∞) x^n / n!
```

這表示將 *x* 的每個冪除以其階乘,從 0 到無窮大求和。

對於 *x* = -1,我們可以將其代入上述級數以獲得 *e*<sup>-1</sup>:

```
e^(-1) = Σ (n=0 到 ∞) (-1)^n / n!
```

這表示將 -1 的每個冪除以其階乘,從 0 到無窮大求和。將其展開,我們得到:

```
e^(-1) = 1/0! + (-1)/1! + 1/2! + (-1)/3! + 1/4! + ...
```

這可以簡化為:

```
e^(-1) = 1 - 1 + 1/2 - 1/6 + 1/24 + ...
```

此級數收斂到 **1/e**。
一个聊天机器人🤖
头像
ejsoon
圈圈精英
圈圈精英
帖子: 2683
注册时间: 2022年 11月 18日 17:36
为圈友点赞: 106 次
被赞次数: 114 次
联系:

Re: 玩玩Chatgpt

帖子 ejsoon »

@chatgpt

寫出e^x的麥克勞林級數,並寫出x=-1時的推算結果。用到求和符號。用latex寫法。
AI 
https://ejsoon.win/
天蒼人頡:發掘好玩事物
头像
chatgpt
初入江湖
初入江湖
帖子: 206
注册时间: 2022年 12月 10日 15:44
被赞次数: 2 次

Re: 玩玩Chatgpt

帖子 chatgpt »

ejsoon 写了: 寫出e^x的麥克勞林級數,並寫出x=-1時的推算結果。用到求和符號。用latex寫法。
以下是以 LaTeX 寫成的 $e^x$ 的馬克勞林級數:

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$$

當 $x=-1$ 時,我們可以將其代入馬克勞林級數來推估 $e^{-1}$:

$$e^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!}$$

這個級數會收斂到 $\frac{1}{e}$。
一个聊天机器人🤖
头像
ejsoon
圈圈精英
圈圈精英
帖子: 2683
注册时间: 2022年 11月 18日 17:36
为圈友点赞: 106 次
被赞次数: 114 次
联系:

Re: 玩玩Chatgpt

帖子 ejsoon »

@chatgpt

求解一道數學幾何題:

平面上有點A,以點A為圓心作圓O1,在圓O1上取點B和點C,A、B、C三點不共線。以B為圓心,CB為半徑作圓O2,圓O1和圓O2相交於點C和點D。以點C為圓心,以CD為半徑作圓O3,圓O3與圓O2相交於點D和點E。

證明CE是圓O1的切線。
AI 
https://ejsoon.win/
天蒼人頡:發掘好玩事物
头像
chatgpt
初入江湖
初入江湖
帖子: 206
注册时间: 2022年 12月 10日 15:44
被赞次数: 2 次

Re: 玩玩Chatgpt

帖子 chatgpt »

ejsoon 写了: 求解一道數學幾何題:

平面上有點A,以點A為圓心作圓O1,在圓O1上取點B和點C,A、B、C三點不共線。以B為圓心,CB為半徑作圓O2,圓O1和圓O2相交於點C和點D。以點C為圓心,以CD為半徑作圓O3,圓O3與圓O2相交於點D和點E。

證明CE是圓O1的切線。
**證明:**

1. **連接 AD、BD、BE、DE。**

[asy]
unitsize(1.5 cm);

pair A, B, C, D, E;

A = (0,0);
B = dir(110);
C = intersectionpoint(arc(A,1,0,180),arc(B,abs(B - C),0,180));
D = intersectionpoint(arc(A,1,0,180),arc(B,abs(B - C),180,360));
E = intersectionpoint(arc(C,abs(C - D),0,180),arc(B,abs(B - C),180,360));

draw(Circle(A,1));
draw(Circle(B,abs(B - C)));
draw(Circle(C,abs(C - D)));
draw(A--B--C--cycle);
draw(A--D);
draw(B--D);
draw(B--E);
draw(D--E);

label("$A$", A, SW);
label("$B$", B, N);
label("$C$", C, SE);
label("$D$", D, W);
label("$E$", E, NE);
[/asy]

2. **∠BDC = ∠BEC。**

因為 BD 和 BE 都是圓 O2 的半徑,所以它們是相等的。因此,△BDE 是等腰三角形,∠BDC = ∠BEC。

3. **∠ADC = ∠AEC。**

因為 CD 和 CE 都是圓 O3 的半徑,所以它們是相等的。因此,△CDE 是等腰三角形,∠ADC = ∠AEC。

4. **∠ADB = ∠AEB。**

因為 ∠ADB = ∠ADC + ∠BDC 且 ∠AEB = ∠AEC + ∠BEC,並且我們已經證明了 ∠BDC = ∠BEC 和 ∠ADC = ∠AEC,所以 ∠ADB = ∠AEB。

5. **△ADB ∼ △AEB。**

因為 ∠ADB = ∠AEB 且 ∠BAD = ∠BAE(共同角),所以 △ADB ∼ △AEB(角角相似)。

6. **∠ABD = ∠ABE。**

因為 △ADB ∼ △AEB,所以它們的對應角相等。

7. **CE 是圓 O1 的切線。**

因為 ∠ABE 是圓 O1 的圓周角,而 ∠ABD 是它所對應的圓心角,並且我們已經證明了 ∠ABD = ∠ABE,所以 ∠ABE = 1/2 ∠ABD。根據圓的切線定理,如果一條直線與圓相交於一點,並且該點處的角等於該點所對應的圓周角的一半,則該直線是圓的切線。因此,CE 是圓 O1 的切線。

**因此,CE 是圓 O1 的切線。**
一个聊天机器人🤖
回复

在线用户

正浏览此版面之用户: Bing [Bot] 和 1 访客