準備研究複平面，歐拉公式，開三次方根

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準備研究複平面，歐拉公式，開三次方根

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帖子 由 ejsoon » 2024年 9月 16日 14:32

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Re: 準備研究複平面，歐拉公式，開三次方根

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帖子 由 ejsoon » 2024年 9月 17日 06:16

對於複數形式的立方根，使用立方根公式可以將其擴展到複數領域。給定一個複數 $z=r{e}^{i\theta }$，其中 $r$ 是複數的模，$\theta$ 是複數的幅角（或稱為相位角），立方根可以用以下公式來表示：

$$\sqrt[3]{z}=\sqrt[3]{r}\cdot e^{i\frac{\theta +2k\pi }{3}}$$

其中 $k=0,1,2$ 代表三個不同的立方根。這些根的具體計算步驟如下：

1. **計算複數的模 $r$**: $r=|z|$，即 $r=\sqrt{a^2+b^2}$ 對於複數 $z=a+bi$。

2. **計算複數的幅角 $\theta$**: $\theta =\arg (z)$，即 $\theta ={\tan }^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$。

3. **應用立方根公式**:
- 首個立方根：${\sqrt[3]{z}}_0=\sqrt[3]{r}\cdot e^{i\frac{\theta }{3}}$
- 第二個立方根：${\sqrt[3]{z}}_1=\sqrt[3]{r}\cdot e^{i\frac{\theta +2\pi }{3}}$
- 第三個立方根：${\sqrt[3]{z}}_2=\sqrt[3]{r}\cdot e^{i\frac{\theta +4\pi }{3}}$

這三個根是複數的所有可能的立方根。










複數的幅角（或相位角）是複數在複平面上的一個重要特徵。對於複數 $z=a+bi$，其幅角 $\theta$ 定義為該複數與實軸之間的夾角。具體來說，幅角 $\theta$ 是複數 $z$ 相對於正實軸的角度，通常以弧度來表示。

**幅角的計算方法**：

1. **使用反正切函數**：幅角 $\theta$ 可以通過反正切函數計算：
$$\theta ={\tan }^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$$
其中 $a$ 和 $b$ 是複數的實部和虛部，分別。

2. **考慮象限**：由於反正切函數 ${\tan }^{-1}$ 的範圍是 $-\frac{\pi }{2}$ 到 $\frac{\pi }{2}$，它不能唯一地決定複數所處的象限。因此，必須根據複數 $z$ 的位置來調整幅角：
- 如果 $a>0$ 且 $b\ge 0$，則 $\theta$ 是正確的。
- 如果 $a<0$，則 $\theta$ 需要加上 $\pi$。
- 如果 $a>0$ 且 $b<0$，則 $\theta$ 需要減去 $2\pi$ 以保持範圍在 $[0,2\pi )$ 之間。

3. **在複數的極坐標表示法中**：複數 $z=a+bi$ 可以用極坐標形式 $z=r{e}^{i\theta }$ 來表示，其中 $r=\sqrt{a^2+b^2}$ 是複數的模，$\theta$ 是幅角，滿足：
$$\theta =\arg (z)={\tan }^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$$
在考慮象限的情況下，這個角度表示從正實軸起始到複數 $z$ 的直線的方向。

**實際應用**：

幅角在數學和工程中有多種應用，包括信號處理、控制系統和複數函數的研究等。了解複數的幅角有助於分析複數的旋轉、頻率響應等特性。







複數形式的立方根公式可以用來找到複數的三個立方根。給定複數 $z$，我們首先將其寫成極坐標形式 $z=r{e}^{i\theta }$，其中 $r$ 是複數的模（即 $r=|z|$），而 $\theta$ 是複數的幅角（即 $\theta =\arg (z)$）。

立方根公式可以寫為：

$$\sqrt[3]{z}=\sqrt[3]{r}\cdot e^{i\frac{\theta +2k\pi }{3}}$$

其中 $k$ 可以取 0、1 和 2，以獲得所有三個立方根。

具體地，三個立方根為：

1. $\sqrt[3]{r}\cdot e^{i\frac{\theta }{3}}$
2. $\sqrt[3]{r}\cdot e^{i\frac{\theta +2\pi }{3}}$
3. $\sqrt[3]{r}\cdot e^{i\frac{\theta +4\pi }{3}}$

這三個根在複數平面上均勻地分佈在一個圓周上。














在複平面中，指數函數 $e^z$ 扮演著重要的角色。對於複數 $z=x+yi$，其中 $x$ 和 $y$ 是實數，複數指數函數定義為：

$$e^z=e^{x+yi}=e^x\cdot e^{yi}$$

這裡的 $e^x$ 是實數部分的指數函數，而 $e^{yi}$ 可以通過歐拉公式展開為：

$$e^{yi}=\cos (y)+i\sin (y)$$

因此，複數指數函數的公式為：

$$e^z=e^x(\cos (y)+i\sin (y))$$

這個公式顯示了複數指數函數在複平面上的作用：

1. **放大和旋轉**：指數函數 $e^x$ 會對複數平面上的數值進行放大或縮小。$e^x$ 是一個實數，表示對應複數的模的大小。$e^{yi}$ 則是複平面上的一個單位圓上的點，表示對應複數的角度或旋轉。

2. **周期性**：對於虛數部分 $yi$，由於 $e^{yi}=\cos (y)+i\sin (y)$ 是週期性的，這表明複數指數函數在複平面上沿著虛軸方向有週期性。具體而言，$e^{yi}$ 的週期是 $2\pi$，即 $e^{yi}=e^{i(y+2\pi k)}$ 對於任何整數 $k$ 都成立。

3. **映射性質**：複數指數函數將複平面上的每一點映射到另一點，這個映射會將複平面上的整個直線（例如，虛數軸）映射到一個圓圈上（例如，單位圓），而實數軸會被映射到從原點開始的放射狀曲線上。

總結來說，複數指數函數 $e^z$ 是複平面中一個非常重要的函數，它結合了實數的指數增長和虛數的旋轉，對於解析函數理論、傅立葉變換以及許多其他數學和工程領域具有深遠的影響。

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