好的，以下是將文段翻譯成繁體中文，並使用繁體中文講解的結果：ejsoon 写了： 將以下文段翻譯成繁體中文，然後用繁體中文講解。
The intersection of an upright double cone by a plane not through the vertex with slope greater than the slope of the lines on the cone is a hyperbola (see diagram: red curve). In order to prove the defining property of a hyperbola (see above) one uses two Dandelin spheres d 1 , d 2 {\displaystyle d_{1},d_{2}}, which are spheres that touch the cone along circles c 1 {\displaystyle c_{1}}, c 2 {\displaystyle c_{2}} and the intersecting (hyperbola) plane at points F 1 {\displaystyle F_{1}} and F 2 {\displaystyle F_{2}}. It turns out: F 1 , F 2 {\displaystyle F_{1},F_{2}} are the foci of the hyperbola.
Let P {\displaystyle P} be an arbitrary point of the intersection curve.
The generatrix of the cone containing P {\displaystyle P} intersects circle c 1 {\displaystyle c_{1}} at point A {\displaystyle A} and circle c 2 {\displaystyle c_{2}} at a point B {\displaystyle B}.
The line segments P F 1 ¯ {\displaystyle {\overline {PF_{1}}}} and P A ¯ {\displaystyle {\overline {PA}}} are tangential to the sphere d 1 {\displaystyle d_{1}} and, hence, are of equal length.
The line segments P F 2 ¯ {\displaystyle {\overline {PF_{2}}}} and P B ¯ {\displaystyle {\overline {PB}}} are tangential to the sphere d 2 {\displaystyle d_{2}} and, hence, are of equal length.
The result is: | P F 1 | − | P F 2 | = | P A | − | P B | = | A B | {\displaystyle |PF_{1}|-|PF_{2}|=|PA|-|PB|=|AB|} is independent of the hyperbola point P {\displaystyle P}, because no matter where point P {\displaystyle P} is, A , B {\displaystyle A,B} have to be on circles c 1 {\displaystyle c_{1}}, c 2 {\displaystyle c_{2}}, and line segment A B {\displaystyle AB} has to cross the apex. Therefore, as point P {\displaystyle P} moves along the red curve (hyperbola), line segment A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} simply rotates about apex without changing its length.
翻譯：
一個斜率大於圓錐母線斜率的平面，與一個正立雙圓錐相交（且不通過頂點），其交線為雙曲線（參見圖示：紅色曲線）。為了證明雙曲線的定義性質（見上文），我們使用兩個丹德林球 d1 和 d2，這兩個球分別沿著圓 c1 和 c2 與圓錐相切，並在點 F1 和 F2 與相交平面（雙曲線）相切。結果發現：F1 和 F2 是雙曲線的焦點。
令 P 為交線上的任意一點。
包含 P 的圓錐母線與圓 c1 相交於點 A，與圓 c2 相交於點 B。
線段 PF1 和 PA 與球 d1 相切，因此長度相等。
線段 PF2 和 PB 與球 d2 相切，因此長度相等。
結果是：|PF1| - |PF2| = |PA| - |PB| = |AB| 與雙曲線上的點 P 無關，因為無論點 P 在哪裡，A 和 B 都必須在圓 c1 和 c2 上，並且線段 AB 必須穿過頂點。因此，當點 P 沿著紅色曲線（雙曲線）移動時，線段 AB 只是繞著頂點旋轉，而長度不變。
講解：
這段文字主要在解釋如何利用「丹德林球」來證明雙曲線的定義性質。雙曲線的定義性質是：平面上到兩個定點（焦點）的距離之差的絕對值為常數的點的軌跡。
以下是詳細的講解：
1. 雙曲線的產生：
* 想像一個正立的雙圓錐（就像兩個冰淇淋甜筒尖端對接）。
* 用一個平面去切割這個雙圓錐，但這個平面不能通過圓錐的頂點，而且這個平面的斜率要比圓錐母線的斜率更大。
* 這樣切割出來的交線，就會是一個雙曲線。
2. 丹德林球：
* 為了證明雙曲線的定義性質，我們引入兩個特殊的球體，稱為「丹德林球」（d1 和 d2）。
* 這兩個球體都與圓錐內部相切，而且它們也與切割圓錐的平面相切。
* d1 與圓錐的切點形成一個圓 c1，與平面的切點是 F1。
* d2 與圓錐的切點形成一個圓 c2，與平面的切點是 F2。
* 重點是：F1 和 F2 這兩個點，就是雙曲線的焦點。
3. 證明過程：
* 我們在雙曲線上隨意取一個點 P。
* 通過 P 點的圓錐母線會與圓 c1 相交於點 A，與圓 c2 相交於點 B。
* 由於 PF1 和 PA 都是從 P 點出發，與球 d1 相切的線段，所以它們的長度相等（PF1 = PA）。
* 同理，PF2 和 PB 都是從 P 點出發，與球 d2 相切的線段，所以它們的長度也相等（PF2 = PB）。
* 因此，|PF1| - |PF2| = |PA| - |PB|。
* 而 |PA| - |PB| 其實就是 |AB|，也就是線段 AB 的長度。
* 關鍵在於，無論 P 點在雙曲線上的哪個位置，線段 AB 的長度都是固定的。這是因為 A 和 B 始終在圓 c1 和 c2 上，而且 AB 總是穿過圓錐的頂點。當 P 點在雙曲線上移動時，AB 線段只是繞著頂點旋轉，長度不變。
4. 結論：
* 因為 |PF1| - |PF2| 等於一個固定的值（|AB|），所以我們證明了雙曲線上任意一點到兩個焦點的距離之差的絕對值是一個常數。
* 這就驗證了雙曲線的定義性質。
總結來說，丹德林球提供了一個巧妙的方法，利用切線長度相等的性質，將雙曲線的定義性質與圓錐的幾何性質聯繫起來，從而證明了雙曲線的焦點和定義。