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五聯骨牌的組合性質研究

发表于 : 2024年 6月 24日 06:36
ejsoon
https://m.toutiao.com/article/710409805 ... toutiao_pc

這個問題及證明都挺有意思的。

Re: 五聯骨牌的組合性質研究

发表于 : 2024年 6月 24日 06:40
ejsoon
伤脑筋12块,是一种历史悠久的益智玩具,相传起源于中国的骨牌,西方称为“中国的难题”或“pentomino”。伤脑筋12块包括全部12种由五个单位正方形通过边与边相连形成的多边形,这些多边形也叫五联骨牌或五连方。伤脑筋12块的玩法多种多样,最基本的玩法是用12块拼一个6×10或5×12的长方形。20世纪50年代初,上海一位语文教员方不圆老师将12块改成立体的,使其玩法更加丰富,比如能拼3×4×5的长方体。伤脑筋12块还被漫画家丰子恺誉为“超乎玩具之上,与象棋、国棋相颉(xié,不相上下)。”
這段敘述是錯誤的,多聯骨牌不起源於中國,它是西方世界的發明,但是沒有人聲稱擁有版權。如果說一定要找一個發明人,那可能就是馬丁•加德納。

Re: 五聯骨牌的組合性質研究

发表于 : 2024年 6月 24日 06:49
ejsoon
在马丁加德纳的《骰子与棋盘上的马》中有这么一个结论:每个四联及五联正六边形骨牌可以密铺平面。同样的,王东风老师发现伤脑筋12块中的每一块也能密铺平面。如下图,每个英文字母是依据每种五联骨牌的形状所做的命名,这也是伤脑筋十二块爱好者常用的命名方式。
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這個問題此前沒有人研究過?

Re: 五聯骨牌的組合性質研究

发表于 : 2024年 6月 24日 06:50
ejsoon
王东风老师又尝试了任意两块五连方的组合,共有C(12,2)=66种组合,发现它们都可以密铺。随后,王东风老师提出一个看起来不太可能成立的猜想:“在伤脑筋12块中任取几种五联骨牌,都能密铺平面。”
可惜66種組合無圖。

Re: 五聯骨牌的組合性質研究

发表于 : 2024年 6月 24日 06:52
ejsoon
今年10月22日,毕继朋老师在线上马丁聚会中做了主题为"伤脑筋十二块的创意玩法"的分享。在最后的讨论环节中,王东风老师再次提出这一猜想,引发大家的思考。
畢繼朋那個演講很悶很無聊,他根本不會玩!

Re: 五聯骨牌的組合性質研究

发表于 : 2024年 6月 24日 06:53
ejsoon
经过王东风老师的探索和群友的讨论,今年11月13日,这个猜想得到了证明,随后我们还对这一结论进行了推广。内容如下。
能湊到一群同好者,不錯,如果圈圈之地也能湊到一些就好了。

Re: 五聯骨牌的組合性質研究

发表于 : 2024年 6月 24日 06:58
ejsoon
引理1:在伤脑筋12块中,除U形外,任意n种五连方的组合(2≤n≤12,下同),都能周期性密铺平面。


(周期性密铺,是指朝一个方向平移之后能够与原图重合的密铺方式。否则为非周期性密铺。)


证明:如下图,每种五联骨牌都能单独拼成“1-2”锯齿形,并且向两个方向无限延伸。因此,不管有几种五联骨牌,只需依次拼在一起即可,然后整体再不断重复。
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之所以選擇1-2鋸齒形,是因為X只能組成這種密鋪形狀。

Re: 五聯骨牌的組合性質研究

发表于 : 2024年 6月 24日 07:02
ejsoon
引理2:在伤脑筋12块中,任意一种含有U形及“F、L、N、P、T、W、Y、Z”之一的五连方组合可以周期性密铺平面。


证明:不妨设组合中含有F。先将U形和F形拼成“1-2”锯齿形(抱歉,这里漏了一幅图,请见下期修订版),其余形状根据引理1单独拼成“1-2”锯齿形,之后依次拼在一起,然后整体再不断重复。

這個證明沒有講不含F的情況!

Re: 五聯骨牌的組合性質研究

发表于 : 2024年 6月 24日 08:27
ejsoon
真的是太水了,難道沒有人發現??