圈圈之地

代码： 全选

#### **(1) $DF^2$ 之代數展開：**

$$DF^2 = \left(\frac{1}{2z}-1\right)^2 + \left(\frac{1}{4z(1-2z^2)}-1\right)^2 - 2\left(\frac{1}{2z}-1\right)\left(\frac{1}{4z(1-2z^2)}-1\right)(1-2z^2)$$

#### **(2) $BF^2$ 之代數展開：**

$$BF^2 = 1 + \left(\frac{1}{4z(1-2z^2)}-1\right)^2 - 2\left(\frac{1}{4z(1-2z^2)}-1\right)(3z-4z^3)$$



用以上兩個式子，推出以下式子，給出推導過程

(8z^3−6z−1)(BF^2−1)=−(2z−1)(2z+1)(4z^2+2z−1)(DF^2−3)





令
[
u=\frac{1}{4z(1-2z^2)}-1,\qquad v=\frac{1}{2z}-1.
]
那麼題目給的兩式可寫成
[
DF^2=v^2+u^2-2vu(1-2z^2),
]
[
BF^2=1+u^2-2u(3z-4z^3).
]

我們要證明
[
(8z^3-6z-1)(BF^2-1)=-(2z-1)(2z+1)(4z^2+2z-1)(DF^2-3).
]

---

先把 (u,v) 改寫成同分式：

[
v=\frac{1-2z}{2z},
\qquad
u=\frac{1-4z+8z^3}{4z(1-2z^2)}.
]

因此
[
v^2=\frac{(1-2z)^2}{4z^2},
\qquad
u^2=\frac{(1-4z+8z^3)^2}{16z^2(1-2z^2)^2}.
]

而交叉項也可化簡為
[
2vu(1-2z^2)
=2\cdot \frac{1-2z}{2z}\cdot \frac{1-4z+8z^3}{4z(1-2z^2)}(1-2z^2)
=\frac{(1-2z)(1-4z+8z^3)}{4z^2}.
]

所以
[
DF^2-3
=\frac{(1-2z)^2}{4z^2}
+\frac{(1-4z+8z^3)^2}{16z^2(1-2z^2)^2}
-\frac{(1-2z)(1-4z+8z^3)}{4z^2}
-3.
]

把它通分到 (16z^2(2z^2-1)^2) 後，整理得
[
16z^2(2z^2-1)^2(DF^2-3)
=(8z^3-6z-1)\Bigl(32z^5-16z^4-32z^3+12z^2+6z-1\Bigr).
]
因此
[
DF^2-3=
\frac{(8z^3-6z-1)\Bigl(32z^5-16z^4-32z^3+12z^2+6z-1\Bigr)}
{16z^2(2z^2-1)^2}.
]

---

接著看 (BF^2-1)：

[
BF^2-1=u^2-2u(3z-4z^3).
]
又因為 (3z-4z^3=z(3-4z^2))，所以
[
2u(3z-4z^3)
=2\cdot \frac{1-4z+8z^3}{4z(1-2z^2)}\cdot z(3-4z^2)
=\frac{(1-4z+8z^3)(3-4z^2)}{2(1-2z^2)}.
]

通分到同一個分母 (16z^2(2z^2-1)^2) 後，整理得
[
16z^2(2z^2-1)^2(BF^2-1)
=-(2z-1)(2z+1)(4z^2+2z-1)\Bigl(32z^5-16z^4-32z^3+12z^2+6z-1\Bigr).
]
因此
[
BF^2-1=
-\frac{(2z-1)(2z+1)(4z^2+2z-1)\Bigl(32z^5-16z^4-32z^3+12z^2+6z-1\Bigr)}
{16z^2(2z^2-1)^2}.
]

---

現在兩式有同一個共同因子
[
K=32z^5-16z^4-32z^3+12z^2+6z-1.
]
所以
[
(8z^3-6z-1)(BF^2-1)
=-(8z^3-6z-1)(2z-1)(2z+1)(4z^2+2z-1)\frac{K}{16z^2(2z^2-1)^2},
]
而
[
-(2z-1)(2z+1)(4z^2+2z-1)(DF^2-3)
=-(2z-1)(2z+1)(4z^2+2z-1)(8z^3-6z-1)\frac{K}{16z^2(2z^2-1)^2}.
]

兩邊完全相同，因此
[
\boxed{(8z^3-6z-1)(BF^2-1)=-(2z-1)(2z+1)(4z^2+2z-1)(DF^2-3)}.
]

如果你要，我也可以把上面的「通分後整理」每一步展開成完整的多項式乘法，不省略任何中間項。