筆記：鳶形二十四面體的頂點坐標
Re: 筆記：鳶形二十四面體的頂點坐標
鳶形二十四面體是一個卡塔蘭立體，由 24 個全等的箏形構成。以下列出其頂點坐標，可以使用這些坐標在三維空間中構建該多面體：
假設鳶形二十四面體的邊長為 2，且其中心位於原點 (0, 0, 0)，則其頂點坐標為：
**第一組 (8 個頂點):**
* (±1, ±1, ±√2) (所有符號組合)
**第二組 (16 個頂點):**
* (0, ±(1+√2), ±√(2-√2)) (所有符號組合)
* (±(1+√2), 0, ±√(2-√2)) (所有符號組合)
* (±√(2-√2), ±(1+√2), 0) (所有符號組合)
**說明:**
* "±" 表示可以取正號或負號。
* 第一組頂點形成了立方體的頂點。
* 第二組頂點形成了正八面體的頂點在經過適當縮放和旋轉後的結果。
希望這些信息對您有所幫助！
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Re: 筆記：鳶形二十四面體的頂點坐標
一個立體的26個頂點為：
(0, 0, \pm\sqrt{2})
(\pm\sqrt{2}, 0, 0)
(0, \pm\sqrt{2}, 0)
(\pm1, 0, \pm1)
(\pm1, \pm1, 0)
(0, \pm1, \pm1)
(\pm\frac{4+\sqrt{2}}{7}, \pm\frac{4+\sqrt{2}}{7}, \pm\frac{4+\sqrt{2}}{7})
請描述它的其中一個面。
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Re: 筆記：鳶形二十四面體的頂點坐標
這個立體其中一個面可以描述如下：
**一個正八邊形，頂點為：**
* (±1, 0, 1)
* (±1, 0, -1)
* (0, 1, 1)
* (0, 1, -1)
* (0, -1, 1)
* (0, -1, -1)
**說明：**
1. 我們可以注意到，這八個點都在距離原點 √2 的位置上，構成一個正八邊形。
2. 這些點中， (±1, 0, ±1) 和 (0, ±1, ±1) 构成了立方體的頂點，而立方體的邊長為√2。
3. 這個正八邊形正是這個立方體其中一個面的內切八邊形。
因此，這個立體其中一個面是一個邊長為 √2 的正八邊形。
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Re: 筆記：鳶形二十四面體的頂點坐標
在三維空間中，兩個點的坐標為(x_1,y_1,z_1)和(x_2,y_2,z_2)，如何求出兩點的距離？
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Re: 筆記：鳶形二十四面體的頂點坐標
在三維空間中，可以使用距離公式計算兩點之間的距離。距離公式是畢氏定理在三維空間的推廣。
設兩點坐標為 (x₁, y₁, z₁) 和 (x₂, y₂, z₂)，則它們之間的距離 d 為：
**d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)**
**解釋：**
1. **(x₂ - x₁), (y₂ - y₁), (z₂ - z₁):** 分別計算兩點在 x, y, z 軸上的坐標差。
2. **(... )²:** 將每個坐標差平方。
3. **(...)+ (...)+ (...):** 將三個平方和相加。
4. **√(...):** 對上述結果開平方根，得到兩點之間的距離。
**例子：**
求點 A(1, 2, 3) 和點 B(4, 0, 5) 之间的距离。
d = √((4 - 1)² + (0 - 2)² + (5 - 3)²)
d = √(3² + (-2)² + 2²)
d = √(9 + 4 + 4)
d = √17
所以，點 A 和點 B 之间的距离为 √17。
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Re: 筆記：鳶形二十四面體的頂點坐標
(\sqrt{2}, 0, 0)
(\frac{4+\sqrt{2}}{7}, \frac{4+\sqrt{2}}{7}, \frac{4+\sqrt{2}}{7})
求兩點之間的距離。
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Re: 筆記：鳶形二十四面體的頂點坐標
好的。以下是如何找到這兩個點之間的距離：
**1. 距離公式**
在三維空間中，兩點 (x₁, y₁, z₁) 和 (x₂, y₂, z₂) 之間的距離由以下公式給出：
```
距離 = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)² )
```
**2. 識別坐標**
* 點 1: (√2, 0, 0)
* x₁ = √2
* y₁ = 0
* z₁ = 0
* 點 2: ((4+√2)/7, (4+√2)/7, (4+√2)/7)
* x₂ = (4+√2)/7
* y₂ = (4+√2)/7
* z₂ = (4+√2)/7
**3. 將坐標代入公式**
```
距離 = √(((4+√2)/7 - √2)² + ((4+√2)/7 - 0)² + ((4+√2)/7 - 0)²)
```
**4. 簡化**
這個表達式看起來很嚇人，但我們可以簡化它：
* **簡化括號內的內容：**
* ((4+√2)/7 - √2) = (-3√2 + 4)/7
* ((4+√2)/7 - 0) = (4+√2)/7
* **將簡化的項代入公式：**
* 距離 = √(((-3√2 + 4)/7)² + ((4+√2)/7)² + ((4+√2)/7)²)
* **計算平方：**
* 距離 = √((18 - 24√2 + 16)/49 + (16 + 8√2 + 2)/49 + (16 + 8√2 + 2)/49)
* **結合相似的項：**
* 距離 = √((50 + 0)/49) = √(50/49)
* **簡化平方根：**
* 距離 = 5√2 / 7
**因此，這兩個點之間的距離為 5√2 / 7。**
一个聊天机器人🤖
Re: 筆記：鳶形二十四面體的頂點坐標
- 点 \( A = (\sqrt{2}, 0, 0) \)
- 点 \( B = \left(\frac{4+\sqrt{2}}{7}, \frac{4+\sqrt{2}}{7}, \frac{4+\sqrt{2}}{7}\right) \)
距离公式是：
\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]
将点 \( A \) 和点 \( B \) 的坐标代入公式中：
1. 计算 \( x_2 - x_1 \)：
\[ x_2 - x_1 = \frac{4 + \sqrt{2}}{7} - \sqrt{2} \]
\[ x_2 - x_1 = \frac{4 + \sqrt{2} - 7\sqrt{2}}{7} \]
\[ x_2 - x_1 = \frac{4 - 6\sqrt{2}}{7} \]
2. 计算 \( y_2 - y_1 \)：
\[ y_2 - y_1 = \frac{4 + \sqrt{2}}{7} - 0 = \frac{4 + \sqrt{2}}{7} \]
3. 计算 \( z_2 - z_1 \)：
\[ z_2 - z_1 = \frac{4 + \sqrt{2}}{7} - 0 = \frac{4 + \sqrt{2}}{7} \]
将这些结果代入距离公式中：
\[
d = \sqrt{\left(\frac{4 - 6\sqrt{2}}{7}\right)^2 + \left(\frac{4 + \sqrt{2}}{7}\right)^2 + \left(\frac{4 + \sqrt{2}}{7}\right)^2}
\]
简化这些平方项：
\[
\left(\frac{4 - 6\sqrt{2}}{7}\right)^2 = \frac{(4 - 6\sqrt{2})^2}{49} = \frac{16 - 48\sqrt{2} + 72}{49} = \frac{88 - 48\sqrt{2}}{49}
\]
\[
\left(\frac{4 + \sqrt{2}}{7}\right)^2 = \frac{(4 + \sqrt{2})^2}{49} = \frac{16 + 8\sqrt{2} + 2}{49} = \frac{18 + 8\sqrt{2}}{49}
\]
由于 \( y_2 - y_1 \) 和 \( z_2 - z_1 \) 是相同的，因此：
\[
\left(\frac{4 + \sqrt{2}}{7}\right)^2 + \left(\frac{4 + \sqrt{2}}{7}\right)^2 = 2 \times \frac{18 + 8\sqrt{2}}{49} = \frac{36 + 16\sqrt{2}}{49}
\]
将所有结果相加：
\[
d^2 = \frac{88 - 48\sqrt{2}}{49} + \frac{36 + 16\sqrt{2}}{49} = \frac{124 - 32\sqrt{2}}{49}
\]
\[
d = \sqrt{\frac{124 - 32\sqrt{2}}{49}} = \frac{\sqrt{124 - 32\sqrt{2}}}{7}
\]
因此，两点之间的距离是：
\[
d = \frac{\sqrt{124 - 32\sqrt{2}}}{7}
\]
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