坐标算符x在动量表象下的形式——不可积函数的傅里叶变换
发表于 : 2024年 3月 8日 00:33
假设你已经有量子力学课程基础,
我们的挑战是——推导x在p表象下的(元)形式,如图:
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今日看到知乎上一篇回答:“你有什么看不惯的数学方法?”
https://www.zhihu.com/question/39272529 ... /361375313
正是答主MpPHYKEK写的内容,让我想起了图一,这段颇为“magic”的推导。
奇妙之处在于:第三个等号到第四个等号。(我们直接以第j个“=”来描述第几步骤)
一方面,单从这个证明看:3->4,x到\partial p 的变换,似乎是拼凑出来的。
另一方面,第四个等号中,“()”内正是x算符在p表象下的形式。然而我们往一步推导,3中的x'实际上是一个本征值,即一个数值。
而再看,4->5利用了∫和求导的线性性质,将他们调换顺序,竟然积出了一个看似不可积的函数。(尽管有些人已经习惯了积出狄拉克函数这件事)
为什么是狄拉克函数?什么是狄拉克函数?傅里叶变换,表象变换,奇怪的不可积函数,它们有何关联?我们又从这个推导中得到了什么启示?
很长一段时间我对此都有隐约混沌的困惑,不知问题该如何提出。
因此再次感谢MpPHYKEK的回答,让我意识到,这或许是个“数与算符”,“函数与积分”的问题。以此为线索查找资料,我获得一份从数学角度,令人认可答案:
“求某一类不可积函数的傅里叶变换的问题”
https://www.zhihu.com/question/54208776 ... 2569973594
这时候我们说,狄拉克函数是“缓增广义函数”(tempered distribution)。不过tempered distribution翻译作“函数”却并非函数,他是一个泛函概念。
狄拉克函数及其傅里叶变换结果“1”,这二者实际上都不是函数,而是泛函的积分表示,正如原词“distribution”,是在积分内对函数f(x)的一种作用。
第二个链接分享了答主阿江的回答,较清晰的为大家介绍了:不可积函数的傅里叶变换与狄拉克函数更本质的意义。
一方面,“缓增”与f(x)的乘积是受控(tempered)的,使得我们运算闭合,对缓增广义函数的傅里叶变换有定义(还是一个缓增广义函数)。
另一方面,当你意识到狄拉克函数也是一个“作用”时,则“x变为对p的求导”或“数值变成了一个算符”这件事就没有那么难以接受了。
希望能与大家分享这一有趣的理解!
我们的挑战是——推导x在p表象下的(元)形式,如图:
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今日看到知乎上一篇回答:“你有什么看不惯的数学方法?”
https://www.zhihu.com/question/39272529 ... /361375313
正是答主MpPHYKEK写的内容,让我想起了图一,这段颇为“magic”的推导。
奇妙之处在于:第三个等号到第四个等号。(我们直接以第j个“=”来描述第几步骤)
一方面,单从这个证明看:3->4,x到\partial p 的变换,似乎是拼凑出来的。
另一方面,第四个等号中,“()”内正是x算符在p表象下的形式。然而我们往一步推导,3中的x'实际上是一个本征值,即一个数值。
而再看,4->5利用了∫和求导的线性性质,将他们调换顺序,竟然积出了一个看似不可积的函数。(尽管有些人已经习惯了积出狄拉克函数这件事)
为什么是狄拉克函数?什么是狄拉克函数?傅里叶变换,表象变换,奇怪的不可积函数,它们有何关联?我们又从这个推导中得到了什么启示?
很长一段时间我对此都有隐约混沌的困惑,不知问题该如何提出。
因此再次感谢MpPHYKEK的回答,让我意识到,这或许是个“数与算符”,“函数与积分”的问题。以此为线索查找资料,我获得一份从数学角度,令人认可答案:
“求某一类不可积函数的傅里叶变换的问题”
https://www.zhihu.com/question/54208776 ... 2569973594
这时候我们说,狄拉克函数是“缓增广义函数”(tempered distribution)。不过tempered distribution翻译作“函数”却并非函数,他是一个泛函概念。
狄拉克函数及其傅里叶变换结果“1”,这二者实际上都不是函数,而是泛函的积分表示,正如原词“distribution”,是在积分内对函数f(x)的一种作用。
第二个链接分享了答主阿江的回答,较清晰的为大家介绍了:不可积函数的傅里叶变换与狄拉克函数更本质的意义。
一方面,“缓增”与f(x)的乘积是受控(tempered)的,使得我们运算闭合,对缓增广义函数的傅里叶变换有定义(还是一个缓增广义函数)。
另一方面,当你意识到狄拉克函数也是一个“作用”时,则“x变为对p的求导”或“数值变成了一个算符”这件事就没有那么难以接受了。
希望能与大家分享这一有趣的理解!